آموزش آمار آموزش تجزیه و تحلیل آماری مقدمه ای بر آمار فاصله اطمینان .
.
 
معمولا برای مقایسه دو جامعه آماری میانگین ان دو جامعه را با یکدیگر مقایسه می کنیم
اختلاف میانگین دو جامعه عبارت از برآورد فاصله اطمینان برای اختلاف بین میانگین دو جامعه است. برای برآورد نقطه ای این اختلاف، مناسب ترین برآورد کننده برآورد فاصله اطمینان برای اختلاف بین میانگین دو جامعه است که در ان برآورد فاصله اطمینان برای اختلاف بین میانگین دو جامعه از نمونه ای به حجم n1 از جامعه اول و برآورد فاصله اطمینان برای اختلاف بین میانگین دو جامعه از نمونه ای به حجم n2 از جامعه دوم به دست آمده است.
برای ساختن فاصله اطمینان برای اختلاف بین میانگین دو جامعه لازم است توزیع احتمال برآورد فاصله اطمینان برای اختلاف بین میانگین دو جامعه را بدانیم
از قبل می دانیم اگر Y = برآورد فاصله اطمینان برای اختلاف بین میانگین دو جامعه
برآورد فاصله اطمینان برای اختلاف بین میانگین دو جامعه
اگر دو متغیر تصادفی X1 و X2 مستقل از یکدیگر باشند آن گاه برآورد فاصله اطمینان برای اختلاف بین میانگین دو جامعه برابر صفر است.
برای محاسبه فاصله اطمینان برای اختلاف بین میانگین دو جامعه حالت های زیر می تواند اتفاق بیفتد.
1- جامعه ها نرمال و واریانس دو جامعه برآورد فاصله اطمینان برای اختلاف بین میانگین دو جامعه مشخص باشد.
2- جامعه ها غیر نرمال و واریانس دو جامعه مشخص و نمونه ها بزرگتر از 30
3- جامعه ها نرمال و واریانس جامعه ها برآورد فاصله اطمینان برای اختلاف بین میانگین دو جامعه مشخص نباشد
الف- حجم نمونه ها بزرگتر از 30
ب- حجم نمونه ها کوچک
برای هر یک از حالتهای فوق فرمول فاصله اطمینان را ارائه می کنیم.

جامعه ها نرمال و واریانس دو جامعه برآورد فاصله اطمینان برای اختلاف بین میانگین دو جامعه مشخص باشد.


با توجه به اینکه نمونه های تصادفی و مستقل به حجم n1 و n2 هستند و جامعه ها نیز نرمال است بنابراین برآورد فاصله اطمینان برای اختلاف بین میانگین دو جامعه یک متغیر تصادفی نرمال با میانگین و واریانس زیر است.
برآورد فاصله اطمینان برای اختلاف بین میانگین دو جامعه
و متغیر تصادفی
برآورد فاصله اطمینان برای اختلاف بین میانگین دو جامعه
دارای توزیع نرمال استاندارد است.
بنابراین فاصله اطمینان (1- برآورد فاصله اطمینان برای اختلاف بین میانگین دو جامعه ) درصد برای برآورد فاصله اطمینان برای اختلاف بین میانگین دو جامعه به صورت زیر است.
برآورد فاصله اطمینان برای اختلاف بین میانگین دو جامعه

جامعه ها غیر نرمال و واریانس دو جامعه مشخص و نمونه ها بزرگتر از 30


با استفاده از قضیه حد مرکزی فاصله اطمینان (1- برآورد فاصله اطمینان برای اختلاف بین میانگین دو جامعه ) درصد برای برآورد فاصله اطمینان برای اختلاف بین میانگین دو جامعه از رابطه ی زیر به دست می آید.
برآورد فاصله اطمینان برای اختلاف بین میانگین دو جامعه

جامعه ها نرمال و واریانس جامعه ها برآورد فاصله اطمینان برای اختلاف بین میانگین دو جامعه نامشخص و حجم نمونه ها بزرگتر از 30


اگر برآورد فاصله اطمینان برای اختلاف بین میانگین دو جامعه نامشخص باشند ولی n1 و n2 بزرگتر از 30 باشند می توانیم به جای برآورد فاصله اطمینان برای اختلاف بین میانگین دو جامعه مقدار برآورد فاصله اطمینان برای اختلاف بین میانگین دو جامعه را از نمونه برآورد کنیم و فاصله اطمینان را از رابطه زیر به دست آوریم.[ می دانیم زمانی که حجم نمونه بزرگتر از 30 است، توزیع t تقریبا با توزیع نرمال استاندارد برابر است]
برآورد فاصله اطمینان برای اختلاف بین میانگین دو جامعه

جامعه ها نرمال و واریانس دو جامعه نامشخص و حجم نمونه ها کوچک


در حالتی که برآورد فاصله اطمینان برای اختلاف بین میانگین دو جامعه نامشخص هستند و حجم نمونه کوچک است ساختن فاصله اطمینان چندان ساده نیست در این حالت فرض می کنیم واریانس های نامشخص با یکدیگر برابر هستند یعنی برآورد فاصله اطمینان برای اختلاف بین میانگین دو جامعه
ابتدا این انحراف معیار مشترک را با استفاده از فرمول زیر برآورد می کنیم
برآورد فاصله اطمینان برای اختلاف بین میانگین دو جامعه
سپس با استفاده از فرمول زیر و توزیع t با برآورد فاصله اطمینان برای اختلاف بین میانگین دو جامعه درجه آزادی فاصله اطمینان را به دست می اوریم.
برآورد فاصله اطمینان برای اختلاف بین میانگین دو جامعه
مثال:
اگر دو نمونه با اطلاعات برآورد فاصله اطمینان برای اختلاف بین میانگین دو جامعه و برآورد فاصله اطمینان برای اختلاف بین میانگین دو جامعه از دو جامعه نرمال با واریانس های برابر انتخاب شده باشند فاصله اطمینان 95 درصد را برای اختلاف میانگین دو جامعه به دست آورید.
[در مثال فوق جامعه ها نرمال، واریانس ها مساوی و حجم نمونه ها کوچک است بنابراین باید از فرمول حالت 4 استفاده کنیم]
برآورد فاصله اطمینان برای اختلاف بین میانگین دو جامعه
و در نتیجه
برآورد فاصله اطمینان برای اختلاف بین میانگین دو جامعه
بنابراین فاصله اطمینان 95 درصد برای اختلاف بین میانگین دو جامعه برابر (-0.2,1) است.

مثال:
اگر از دو جامعه با انحراف معیار 26 و 22 دو نمونه با اطلاعات زیر انتخاب شده باشند فاصله اطمینان 94 درصد را برای اختلاف میانگین دو جامعه به دست آورید.
برآورد فاصله اطمینان برای اختلاف بین میانگین دو جامعه
[در مثال فوق جامعه ها نرمال نیست ولی انحراف معیار دو جامعه مشخص و حجم نمونه ها بزرگتر از 30 است بنابراین باید از فرمول حالت 2 استفاده کنیم]
برآورد فاصله اطمینان برای اختلاف بین میانگین دو جامعه
بنابراین فاصله اطمینان 94 درصد برای اختلاف بین میانگین دو جامعه برابر (6.3,25.7) است.

بازگشت به صفحه فاصله اطمینان
مجله اینترنتی آموزش آمار و احتمال
http://amar.ibep.ir