آموزش آمار آموزش تجزیه و تحلیل آماری مقدمه ای بر آمار .
.
 
در بعضی موارد نیاز است بررسی کنیم آیا دو جامعه دارای توزیع یکسان هستند یا نه.
به عنوان مثال یک ویژگی مانند با سوادی را در دو شهر بزرگ در نظر می گیریم. اگر میزان باسوادی در شهر اول را با متغیر تصادفی X و در شهر دوم را با Y نشان دهیم. می خواهیم بیازمائیم که X و Y همتوزیع هستند.

H0(فرض صفر): X و Y همتوزیع هستند
H1(فرض مقابل): X و Y همتوزیع نیستند

برای انجام این آزمون ویژگی مورد مطالعه را (در اینجا با سوادی) در رده های C1,C2, ... ,Ck رده بندی می کنیم.
فرض کنیم احتمال اینکه یکی از اعضای جامعه اول در Ci باشد برابر pi و احتمال اینکه یکی از اعضای جامعه دوم در Ci باشد برابر qi شود. بنابراین
 مقدمه ای بر آمار : بررسی توزیع ها آزمون هم توزیعی همتوزیعی
اگر هر دو جمعیت در رابطه با این ویژگی هم توزیع باشند ( طبق فرض صفر) باید داشته باشیم
 مقدمه ای بر آمار : بررسی توزیع ها آزمون هم توزیعی همتوزیعی
در صورتی که H0 درست باشد ri( یعنی احتمال مشترک) احتمال این است که یکی از اعضای دو جمعیت در Ci باشد.
برای انجام آزمون یک نمونه تصادفی m تایی از جامعه اول و یک نمونه تصادفی n تایی از جامعه دوم در نظر می گیریم.( فرض اساسی این است که این دو نمونه از هم مستقل باشند)
تعداد فراوانی مشاهده شده در رده ی Ci برای نمونه اول را با mi و برای نمونه دوم را با ni نشان می دهیم.
اگر فرض صفر درست باشد فراوانی های مورد انتظار ( تحت فرض صفر) برای جامعه اول و دوم به ترتیب به صورت زیر به دست می آید.
 مقدمه ای بر آمار : بررسی توزیع ها آزمون هم توزیعی همتوزیعی
دو آماره
 مقدمه ای بر آمار : بررسی توزیع ها آزمون هم توزیعی همتوزیعی
مستقل بوده و هر یک به تقریب ( با فرض بزرگ بودن m و n ) دارای توزیع  مقدمه ای بر آمار : بررسی توزیع ها آزمون هم توزیعی همتوزیعی  هستند. ( برای مطالعه بیشتر به آزمون نیکویی برازش مراجعه کنید.)
بنابراین تحت فرض صفر (H0) داریم
 مقدمه ای بر آمار : بررسی توزیع ها آزمون هم توزیعی همتوزیعی
با توجه به اینکه پارامتر ri مجهول است به جای آن برآوردش یعنی
 مقدمه ای بر آمار : بررسی توزیع ها آزمون هم توزیعی همتوزیعی
را به کار می بریم. چون باید r1,r2, ... ,rk-1 یعنی k-1 پارامتر را برآورد کنیم پس درجه آزادی می شود.
d=2k-2-(k-1)=k-1
اگر برای مقدار آماره W داشته باشیم
 مقدمه ای بر آمار : بررسی توزیع ها آزمون هم توزیعی همتوزیعی
فرض صفر ( یعنی هم توزیعی دو جامعه) در سطح مقدمه ای بر آمار : بررسی توزیع ها آزمون هم توزیعی همتوزیعی رد می شود و نتیجه می گیریم دو جامعه هم توزیع نیستند.

مثال: یک سکه طلا را 100 بار انداخته ایم، 40 بار شیر و 60 بار خط آمده است. در حالی که یک سکه نقره در 80 پرتاب، 35 بار شیر و 45 بار خط آمده است آیا دو سکه از نظر شیر و خط آمدن هم توزیع هستند.(مقدمه ای بر آمار : بررسی توزیع ها آزمون هم توزیعی همتوزیعی = 0.1)
در مجموع این پرتاب ها روی هم 180 پرتاب داریم که 75 بار شیر و 105 بار خط آمده است.
اگر فرض H0 یعنی هم توزیعی درست باشد داریم
 مقدمه ای بر آمار : بررسی توزیع ها آزمون هم توزیعی همتوزیعی
و
 مقدمه ای بر آمار : بررسی توزیع ها آزمون هم توزیعی همتوزیعی
در نتیجه
W=U+V=0.257
و چون
 مقدمه ای بر آمار : بررسی توزیع ها آزمون هم توزیعی همتوزیعی
بنابراین دلیلی برای رد فرض H0 نداریم و طبق شواهد موجود هر دو جامعه هم توزیع هستند.

  • آزمون هم توزیعی ( دو نمونه ای) کولموگروف اسمیرنوف
  • مجله اینترنتی آموزش آمار و احتمال
    http://amar.ibep.ir