آموزش آمار آموزش ریاضی .
.
 

تابع صعودی


تابع f را در فاصله [a,b] صعودی می گوییم اگر
 آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی

اگر علامت تساوی را نداشته باشیم تابع را در فاصله [a,b] صعودی اکید یا اکیدا صعودی می گوییم.
 آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی

تابع نزولی


تابع f را در فاصله [a,b] نزولی می گوییم اگر
 آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی

اگر علامت تساوی را نداشته باشیم تابع را در فاصله [a,b] نزولی اکید یا اکیدا نزولی می گوییم.
 آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی

تابع یکنوا: اگر تابع f در فاصله [a,b] صعودی و یا فقط نزولی باشد، تابع را در این فاصله یکنوا می گوییم.
قضیه اگر تابع f در فاصله D پیوسته باشد و  آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی باشد آن گاه تابع f اکیدا صعودی است و اگر  آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی باشد آن گاه تابع f را اکیدا نزولی می گوییم.
مثال(1):
تابع f(x)=2x+1 بر کل دامنه اکیدا صعودی است.
زیرا تابعی پیوسته است و مشتق آن برابر 2 و مثبت است.
مثال(2):
تابع f(x)=x3-3x+1 مفروض است، فاصله ای را که این تابع در آن اکیدا صعودی و یا اکیدا نزولی است بیابید.
با توجه به قضیه قبل با در نظر گرفتن علامت مشتق تابع می توانیم صعودی بودن و نزولی بودن آن را تعیین کنیم
بنابراین ابتدا لازم است
(1) ریشه های مشتق تابع را بیابیم یعنی معادله  آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی را حل می کنیم و سپس
(2) آنرا تعیین علامت می کنیم.
 آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی

بنابراین تابع در بازه  آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی صعودی و در (-1,1) نزولی است.

ماکزیمم و مینی موم یک تابع


عدد k را ماکسی موم مطلق می گوییم اگر به ازای هر x متعلق به دامنه f
 آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی

و اگر
 آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی

در این صورت k را مینی موم مطلق می گوییم.

ماکزیمم نسبی اگر به ازای تمام مقادیر در همسایگی  آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی داشته باشیم
 آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی

آن گاه  آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی ماکزیمم نسبی تابع f می باشد و  آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی نقطه ماکزیمم نسبی است.
مینی موم نسبی اگر به ازای تمام مقادیر در همسایگی  آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی داشته باشیم
 آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی

آن گاه  آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی مینی موم نسبی تابع f می باشد و  آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی نقطه مینی موم نسبی است.
ماکزیمم یا مینی موم تابع را، نقاط اکسترمم تابع نیز می گوییم.

شرط لازم ماکزیمم و مینی موم نسبی


قضیه اگر تابع f در نقطه  آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی و همسایگی آن پیوسته بوده و در  آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی ماکزیمم یا مینی موم نسبی باشد و همچنین تابع در این نقطه دارای مشتق نیز باشد در این صورت
 آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی

یعنی اگر تابع در نقطه  آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی دارای اکسترمم بوده و مشتق نیز داشته باشد،  آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی است ولی عکس قضیه برقرار نیست یعنی ممکن است مشتق تابع در یک نقطه صفر باشد ولی تابع در آن نقطه ماکزیمم یا مینی موم نداشته باشد.
مثال(3):
مشتق تابع f(x)=x3 در نقطه x=0 برابر صفر است ولی تابع در این نقطه ماکزیمم یا مینی موم نسبی ندارد.
 آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی

نقطه بحرانی


اگر مشتق تابع در یک نقطه برابر صفر باشد انرا نقطه بحرانی می گوییم.
بنابراین برای تعیین اکسترمم یک تابع باید مشتق تابع را به دست آورده و سپس نقاط بحرانی را مشخص کنیم و با تعین علامت مشتق تابع نقاط اکسترمم تابع را به دست آوریم.
مثال(4):
تابع f(x)=x3-3x+1 مفروض است مختصات نقاط بحرانی را تعیین کنید.
 آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی

نقاط (1,-1) و (-1,3) نقاط بحرانی است.
 آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی

بنابراین تابع در نقطه ی (1,-1) مینی موم نسبی و در نقطه ی (-1,3) ماکزیمم است.
مثال(5):
ماکزیمم و مینی موم تابع  آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی را تعیین کنید.
 آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی

نقاط بحرانی (-1,-4) و (1,4) است.
 آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی

بنابراین تابع در نقطه ی (-1,-4) ماکزیمم نسبی و در نقطه ی (1,4)مینی موم نسبی است.

بررسی ماکزیمم و مینی موم در نقاط انتهایی


نقاط انتهایی چیست؟
نقطه (c,f(c)) را نقطه انتهایی منحنی f می گوییم اگر فاصله ای مانند (a,b) که شامل c است وجود داشته باشد به طوری که دامنه ی f شامل هر نقطه در فاصله (a,c) باشد و در فاصله (c,b) نقطه ای وجود نداشته باشد، و یا برعکس.

اگر نقطه (c,f(c)) نقطه انتهایی نمودار f باشد f(c) نقطه اکسترمم تابع f بوده و نقطه اکسترمم انتهایی نامیده می شود.
مثال(6):
ماکزیمم و مینی موم تابع  آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی را تعیین کنید.
دامنه این تابع Df=[-2,2] است بنابراین نقاط (-2,0) و (2,0) نقاط انتهایی این تابع هستند. این نقاط مینی موم مطلق تابع هستند.
و اما این تابع ماکزیمم نسبی نیز دارد. ابتدا نقاط بحرانی را به دست می آوریم
 آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی

بنابراین نقطه ی (0,2) ماکزیمم است.

قضیه رول


فرض کنیم f تابعی باشد که در فاصله [a,b]
1) پیوسته بوده
2) و در هر نقطه از فاصله (a,b) مشتق دارد
3)  آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی
در این صورت حداقل یک نقطه مانند c در فاصله (a,b) وجود دارد که  آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی است.
 آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی

قضیه میانگین (مقدار میانگین برای مشتق)


فرض کنیم f تابعی باشد که در فاصله [a,b]
1) پیوسته بوده
2) و در هر نقطه از فاصله (a,b) مشتق دارد
در این صورت حداقل یک نقطه مانند c در فاصله (a,b) وجود دارد که
 آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی

 آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی

مثال(7):
اگر f(x)=2x2+4x باشد، نقطه ای را بر روی این منحنی پیدا کنید که مماس بر آن موازی با وتری باشد که از نقاطی به طول های x=3 و x=0 می گذرد.
با توجه به اینکه این تابع در فاصله [0,3] پیوسته و در هرنقطه ی (0,3) دارای مشتق است بنابراین می توانیم قضیه مقدار میانگین را به کار ببریم.
 آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی

تحدب و تقعر یک منحنی


تابع f دارای تقعر به طرف بالا (تحدب به طرف پایین) است اگر در نقطه ی (c,f(c))
اولا مشتق  آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی وجود داشته باشد
ثانیا یک همسایگی در نقطه ی c موجود باشد به طوری که نمودار f در این همسایگی بالای خط مماس قرار گیرد
 آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی

تابع f دارای تقعر به طرف پایین (تحدب به طرف بالا) است اگر در نقطه ی (c,f(c))
اولا مشتق  آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی وجود داشته باشد
ثانیا یک همسایگی در نقطه ی c موجود باشد به طوری که نمودار f در این همسایگی پایین خط مماس قرار گیرد
 آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی

قضیه: تابع f مفروض است و در نقطه c و همسایگی آن مشتق وجود دارد در این صورت در نقطه (c,f(c))
1) تقعر منحنی به طرف بالاست اگر در (c,f(c))
مشتق دوم بزرگتر از صفر باشد.  آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی
2) تقعر منحنی به طرف پایین است اگر در (c,f(c))
مشتق دوم کوچکتر از صفر باشد.  آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی

همانگونه که از شکل و جهت تقعر مشخص است ما می توانیم نقاط ماکزیمم و مینی موم تابع را نیز به وسیله قضیه فوق به دست آوریم.

تعیین ماکزیمم و مینی موم به کمک مشتق دوم


فرض کنیم f تابعی است که نقطه ی c نقطه ی بحرانی آن است و مشتق در همسایگی c تعریف شده باشد. در این صورت
1) f(c) مینی موم نسبی است اگر مشتق دوم بزرگتر از صفر باشد.  آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی
2) f(c) ماکزیمم موم نسبی است اگر مشتق دوم کوچکتر از صفر باشد.  آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی
اگر مشتق دوم مساوی صفر باشد  آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی از مشتق دوم برای تعین نقطه اکسترمم نمی توانیم استفاده کنیم.
مثال(8):
ماکزیمم و مینی موم تابع  آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی را تعیین کنید.
 آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی

بنابراین (-1,-12) و (1,12) نقاط بحرانی تابع است.
 آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی

در نتیجه (-1,-12) ماکزیمم تابع و (1,12) مینی موم تابع است.

نقطه عطف


نقطه (c,f(c)) را نقطه عطف نمودار تابع f می گوییم اگر یک همسایگی c مانند (a,b) وجود داشته باشد به طوری که برای هر x در فاصله (a,c)  آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی و برای هر x در فاصله (c,b)  آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی باشد یا برعکس.

یعنی نقطه عطف نقطه ای است که یک طرف ان تقعر به طرف بالا و یک طرف تقعر به طرف پایین است.
قضیه:
نقطه c را نقطه عطف نمودار f می گوییم اگر
1)  آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی
2) تابع  آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی در نقطه ی c تغیر علامت دهد.
مثال(9):
نقطه عطف تابع f(x)=x3 را به دست آورید.
 آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی

بنابراین (0,0) نقطه عطف نمودار است.
مثال(10):
ماکزیمم، مینی موم و نقاط عطف تابع f(x)=x3-3x2 را به دست آورید.
 آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی

بنابراین (0,0) و (2,-4) نقاط بحرانی تابع است
 آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی

در نتیجه (0,0) نقطه ماکزیمم، (2,-4) نقطه مینی موم است.
 آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی

و با توجه به اینکه تقعر منحنی تغیر علامت داده است در نتیجه (1,-2) نقطه عطف است

جمع بندی
به طور کلی برای تعیین ماکزیمم، مینی موم و نقاط عطف یک منحنی به ترتیب زیر عمل می کنیم.
1) ابتدا نقاط بحرانی تابع را به دست می آوریم.
 آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی

2) از آزمون مشتق دوم برای تعیین نقاط ماکزیمم و مینی موم استفاده می کنیم.
  • اگر  آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی آن گاه (a,f(a)) نقطه ماکزیمم است.
  • اگر  آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی آن گاه (a,f(a)) نقطه مینی موم است.
  • اگر  آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی باشد و  آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی در همسایگی a همواره مثبت باشد نقطه (a,f(a)) نقطه مینی موم است.
  • اگر  آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی باشد و  آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی در همسایگی a همواره منفی باشد نقطه (a,f(a)) نقطه ماکزیمم است.
  • اگر  آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی در همسایگی a تغیر علامت دهد آن گاه (a,f(a)) نقطه عطف است.
3) برای تعین نقطه ی عطف  آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی را مساوی صفر قرار داده و اگر  آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی در اطراف x=a تغیر علامت دهد نقطه ی (a,f(a)) نقطه ی عطف است.
مثال(11):
ماکزیمم، مینی موم و نقاط عطف تابع f(x)=x4-4x3+10 را به دست آورید.
 آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی

بنابراین نقاط (0,10) و (3,-17) نقاط بحرانی تابع است.
 آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی

حال از آزمون مشتق دوم استفاده می کنیم
 آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی

بنابراین نقطه ی (3,-17) مینی موم است.
 آموزش ریاضی : کاربردهای مشتق نقطه ماکزیمم مینی موم نقطه بحرانی نقطه عطف تحدب تقعر صعودی نزولی

با توجه به تغیر علامت مشتق دوم تابع در اطراف نقاط x=0 و x=2 نقاط
(0,10) و (2,-6) نقاط عطف تابع است.

دریافت فایل pdf
مجله اینترنتی آموزش آمار و احتمال
http://amar.ibep.ir