آموزش آمار آموزش ریاضی .
.
 

محاسبه مشتق از طریق تعریف


برای به دست آوردن مشتق تابع y از فرمول زیر استفاده می کنیم.
 آموزش ریاضی : مشتق مشتقگیری فرمول های مشتق

مثال (1)
مشتق تابع f(x)=c را به دست آورید.
 آموزش ریاضی : مشتق مشتقگیری فرمول های مشتق

مثال (2)
مشتق تابع f(x)=ax+b را به دست آورید.
 آموزش ریاضی : مشتق مشتقگیری فرمول های مشتق

مثال (3)
مشتق تابع f(x)=x2 را به دست آورید.
 آموزش ریاضی : مشتق مشتقگیری فرمول های مشتق

مثال (4)
مشتق تابع  آموزش ریاضی : مشتق مشتقگیری فرمول های مشتق را به دست آورید.
 آموزش ریاضی : مشتق مشتقگیری فرمول های مشتق

مشتق تابع f(x)=xn برابر با f(x)=nxn-1 است.


مثال (5)
مشتق توابع زیر را به دست آورید.
 آموزش ریاضی : مشتق مشتقگیری فرمول های مشتق

شیب خط مماس بر منحنی در یک نقطه مساوی است با مشتق تابع در آن نقطه. یعنی اگر مشتق تابع را حساب کنیم و مقدار آن را در نقطه ی x=a حساب کنیم شیب تابع در نقطه ی a به دست می آید.
مثال (6)
شیب تابع f(x)=x5 را در نقطه x=2 و x=4 به دست آورید.
قضیه
مشتق تابع f(x)+g(x) برابر است با  آموزش ریاضی : مشتق مشتقگیری فرمول های مشتق

مشتق مجموع چند تابع برابر است با مجموع مشتقات آن توابع


قضیه
مشتق تابع f(x)-g(x) برابر است با  آموزش ریاضی : مشتق مشتقگیری فرمول های مشتق

مشتق تفاضل چند تابع برابر است با تفاضل مشتقات آن توابع


قضیه

مشتق حاصلضرب دو تابع برابر است با، مشتق تابع اول در تابع دوم به اضافه مشتق تابع دوم در تابع اول


 آموزش ریاضی : مشتق مشتقگیری فرمول های مشتق

مثال
مشتق تابع  آموزش ریاضی : مشتق مشتقگیری فرمول های مشتق را به دست آورید.
قضیه

مشتق خارج قسمت دو تابع برابر است با، مشتق صورت در مخرج منهای مشتق مخرج در صورت تقسیم بر مخرج به توان دو


 آموزش ریاضی : مشتق مشتقگیری فرمول های مشتق

مثال (7)
مشتق تابع  آموزش ریاضی : مشتق مشتقگیری فرمول های مشتق را به دست آورید.
قضیه

اگر تابع f(x) در نقطه ی a دارای مشتق باشد، در این نقطه پیوسته است.


عکس این قضیه لزوما برقرار نیست
مثال (8)
تابع  آموزش ریاضی : مشتق مشتقگیری فرمول های مشتق در نقطه x=0 پیوسته است زیرا
 آموزش ریاضی : مشتق مشتقگیری فرمول های مشتق

ولی مشتق ندارد زیرا
 آموزش ریاضی : مشتق مشتقگیری فرمول های مشتق

 آموزش ریاضی : مشتق مشتقگیری فرمول های مشتق

چون حد چپ و راست مساوی نیست تابع در این نقطه حد ندارد.

خط مماس، خط قائم


برای نوشتن معادله یک خط، مختصات یک نقطه و شیب آن لازم است.

بنابراین برای نوشتن معادله خط مماس بر منحنی در نقطه x=a لازم است  آموزش ریاضی : مشتق مشتقگیری فرمول های مشتق را به عنوان شیب و نقطه  آموزش ریاضی : مشتق مشتقگیری فرمول های مشتق را به دست آورده و در رابطه ی
 آموزش ریاضی : مشتق مشتقگیری فرمول های مشتق

قرار دهیم.
اگر  آموزش ریاضی : مشتق مشتقگیری فرمول های مشتق باشد آن گاه معادله ی خط مماس به صورت x=a است.

اگر دو خط بر هم عمود باشند آن گاه حاصلضرب شیب آنها برابر  آموزش ریاضی : مشتق مشتقگیری فرمول های مشتق است.
بنابراین برای نوشتن معادله خط قائم بر منحنی در نقطه ی x=a از فرمول زیر استفاده می کنیم.
 آموزش ریاضی : مشتق مشتقگیری فرمول های مشتق

مثال (9)
معادله خط مماس و قائم بر منحنی y=x5+6 در نقطه x=1 بنویسید.

مشتق تابع مرکب


اگر f و g دو تابع باشند fog تابع مرکب می باشد فرض کنیم
 آموزش ریاضی : مشتق مشتقگیری فرمول های مشتق

مشتق تابع مرکب به صورت زیر می شود
 آموزش ریاضی : مشتق مشتقگیری فرمول های مشتق

مثال (10)
مشتق تابع  آموزش ریاضی : مشتق مشتقگیری فرمول های مشتق را به دست آورید.
 آموزش ریاضی : مشتق مشتقگیری فرمول های مشتق

همانطور که در بالا مشاهده می شود ما با تعریف تابع u به صورتی که فرایند مشتق گیری راحتر شود به سادگی می توانیم مشتق بسیاری از توابع را به دست آوریم.
مثال (11)
مشتق توابع زیر را به دست آورید
 آموزش ریاضی : مشتق مشتقگیری فرمول های مشتق

مشتق مراتب بالاتر


اگر از مشتق تابع مجددا مشتق بگیریم مشتق مرتبه دوم به دست می آید و این روند را می توان ادامه داد.
مثال (12)
مشتق مرتبه سوم تابع y=x5+6xرا به دست آورید.

مشتق توابع مثلثاتی


می دانیم
 آموزش ریاضی : مشتق مشتقگیری فرمول های مشتق

با دانستن فرمولهای فوق و دو قاعده زیر می توانیم مشتق توابع مثلثاتی را به راحتی و با استفاده از قضایای بیان شده به دست آوریم.
 آموزش ریاضی : مشتق مشتقگیری فرمول های مشتق

مثال (13)
مشتق توابع زیر را به دست آورید
 آموزش ریاضی : مشتق مشتقگیری فرمول های مشتق

مشتق توابع لگاریتمی


با استفاده از فرمولهای زیر و خواص توابع لگاریتمی به راحتی می توانیم مشتق توابع لگاریتمی را به دست آوریم.
 آموزش ریاضی : مشتق مشتقگیری فرمول های مشتق

نکته: می دانیم ln e =1 بنابراین
 آموزش ریاضی : مشتق مشتقگیری فرمول های مشتق

مثال (14)
مشتق توابع زیر را به دست آورید
 آموزش ریاضی : مشتق مشتقگیری فرمول های مشتق

مشتق توابع نمایی


با استفاده از فرمولهای زیر و خواص توابع نمایی به راحتی می توانیم مشتق توابع نمایی را به دست آوریم.
 آموزش ریاضی : مشتق مشتقگیری فرمول های مشتق

نکته: می دانیم مشتق x برابر 1 است بنابراین
 آموزش ریاضی : مشتق مشتقگیری فرمول های مشتق

مثال (15)
مشتق مرتبه پنجم تابع  آموزش ریاضی : مشتق مشتقگیری فرمول های مشتق را به دست آورید
مثال (16)
مشتق مرتبه دوم تابع  آموزش ریاضی : مشتق مشتقگیری فرمول های مشتق را به دست آورید
مثال (17)
مشتق توابع زیر را به دست آورید
 آموزش ریاضی : مشتق مشتقگیری فرمول های مشتق


دریافت فایل pdf حل مثالهای منتخب
دریافت فایل pdf
مجله اینترنتی آموزش آمار و احتمال
http://amar.ibep.ir