آموزش آمار آموزش ریاضی .
.
 
منظور از محاسبه ی حد یک تابع (f(x)) در نقطه ی a یعنی اینکه ببینیم زمانی که x به حد کافی به a نزدیک می شود (مساوی a نمی شود) مقدار تابع به چه عددی نزدیک می شود.
حد یک تابع را به صورت زیر نشان می دهیم.
 آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی

مثال(1):
تابع f(x)=x2 را در نظر گرفته حد آن را زمانی که x به سمت عدد 2 میل می کند به دست آورید.
 آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی

مثال(2):
تابع f(x)=5x-2 را در نظر گرفته حد آن را زمانی که x به سمت عدد 4 میل می کند به دست آورید.
 آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی

تمرین(1):
تابع  آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی  را در نظر گرفته حد آن را زمانی که x به سمت عدد 1 میل می کند به دست آورید.
تمرین(2):
تابع  آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی  را در نظر گرفته حد آن را زمانی که x به سمت عدد 0 میل می کند به دست آورید.
تمرین(3):
تابع  آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی  را در نظر گرفته حد آن را زمانی که x به سمت عدد 3 میل می کند به دست آورید.

حد چپ و راست


حد تابع  آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی  را در نقطه ی x=0 به دست آورید.
می دانیم که x نمی تواند مقادیر کوچکتر از صفر را اختیار کند و لذا تنها می توانیم از طرف اعداد بزرگتر به صفر نزدیک شویم به این حد، حد یک طرفه از راست می گوییم.
 آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی

حد چپ یعنی اینکه از طرف چپ ( اعداد کوچکتر از a) به a نزدیک شویم.
 آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی

قضیه:
تابع f(x) زمانی در نقطه ی a دارای حد است که حد چپ و راست آن برابر باشند.
 آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی

مثال(3):
حد چپ و راست تابع  آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی  را در نقطه x=1.5 و x=2 به دست آورید. این تابع در کدام نقطه حد دارد.
 آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی

بنابراین تابع در نقطه x=1.5 دارای حد است و حد آن 1 می شود.
 آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی

بنابراین تابع در نقطه x=2 دارای حد نیست.
تمرین(4):
حد تابع  آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی  را در نقطه x=3 دست آورید.

تعریف ریاضی حد


حد تابع f(x) در نقطه ی x=a برابر L است  آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی
اگر به ازای هر عدد مثبت هر اندازه کوچک  آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی  عددی مانند  آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی  وجود داشته باشد به طوری که هر گاه  آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی  باشد آنگاه  آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی
 آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی

قضایای حد


1) حد یک تابع ثابت در هر نقطه برابر همان مقدار ثابت است.f(x)=b
 آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی

2) حد تابع خطی y=ax+b در نقطه x=c برابر است با
 آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی

3) حد مجموع دو تابع در یک نقطه برابر است با مجموع حدود آن توابع
 آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی

4) حد تفاضل دو تابع در یک نقطه برابر است با تفاضل حدود آن توابع
 آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی

5) حد حاصل ضرب دو تابع در یک نقطه برابر است با حاصل ضرب حدود آن توابع
 آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی

6) حد خارج قسمت دو تابع در یک نقطه برابر است با خارج قسمت حدآن توابع بر یکدیگر ( زمانی که مخرج مخالف صفر باشد)
 آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی

7) اگر  آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی  و n عدد صحیح و مثبتی باشد
 آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی

تمرین(5):
حدود توابع زیر را به دست آورید.
 آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی

قضیه فشردگی


اگر به ازای تمامی مقادیر x در یک فاصله ی معین شامل  آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی  ( اما  آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی  ) داشته باشیم
 آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی

در این صورت
 آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی

مثال(4):
حد  آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی  را در نقطه صفر به دست آورید.
می دانیم
 آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی

و
 آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی

حد در بی نهایت


حد زیر را به دست آورید
 آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی

هنگامی که x به سمت بی نهایت میل کند، جملاتی مانند  آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی  به سمت صفر میل می کنند بنابراین حد فوق برابر  آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی  است.
 آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی

مثال(5):
حد توابع زیر را به دست آورید.
 آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی

ابهام در محاسبه ی حد


صورت های ابهام به صورت  آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی  می باشد. ابتدا باید رفع ابهام نمود.
مثال(6):
حد  آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی  را به دست آورید.
 آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی

مثال(7):
حد  آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی  زیر را به دست آورید.
 آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی

برای رفع ابهام صورت و مخرج را در مزدوج صورت ضرب می کنیم.
 آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی

قضیه:
 آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی

مثال(8):
حد  آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی  را در نقطه ی x=0 به دست آورید.
 آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی

مثال(6):
حد  آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی  را در نقطه ی t=0 به دست آورید.
 آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی

می دانیم حد خارج قسمت دو عبارت، برابر خارج قسمت حد صورت به حد مخرج است پس
 آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی

اما در مورد صورت می دانیم اگر t به سمت صفر میل کند بنابراین x=2t نیز به سمت صفر میل می کند پس داریم
 آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی

و در نتیجه
 آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی

پیوستگی


تابع y=f(x) در نقطه ی x=a پیوسته است اگر سه شرط زیر در نقطه ی a برقرار باشد
1) تابع در این نقطه تعریف شده باشد
2) تابع در این نقطه حد داشته باشد
 آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی

3) مقدار تابع در این نقطه برابر حد تابع باشد.
 آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی

گسستگی


اگر تابع f در نقطه ی a یکی از سه شرط فوق را نداشته باشد در این نقطه گسسته است.
مثال(9):
نقاط گسستگی تابع  آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی  را به دست آورید.
با توجه به اینکه حد چپ و راست تابع در نقاط صحیح برابر نیست مثلا
 آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی

بنابراین این تابع در نقاط صحیح گسسته می باشد.
اگر تابع در نقطه ای حد داشته باشد ولی در این نقطه گسسته باشد، گسستگی را حذف شدنی می گوییم.
مثال(10):
نقاط گسستگی تابع  آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی  را به دست آورید.
با توجه به اینکه تابع فوق در نقطه x=3 تعریف نشده است بنابراین گسسته می باشد. ولی تابع فوق در نقطه x=3 دارای حد می باشد
 آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی

بنابراین گسستگی تابع حدف شدنی است و می توان آنرا به صورت زیر نوشت.
 آموزش ریاضی : محاسبه حد، مفهوم حد و پیوستگی

دریافت فایل pdf
مجله اینترنتی آموزش آمار و احتمال
http://amar.ibep.ir