قبل از مطالعه این قسمت مطالعه قسمت

رابطه چیست؟ تابع چیست؟

مفید است.

تابع حالت خاصی از رابطه است بنابراین اگر A و B دو مجموعه باشند، هر رابطه از A در B را یک تابع گوییم اگر در آن دو زوج مرتب پیدا نشود که مختص اول آنها مساوی و مختص دومشان متفاوت باشد.
مثال(1):
کدام یک از روابط زیر تابع است.

دو مجموعه ی A و B مفروضند اگر به هر عنصر مجموعه ی A طبق قانون خاص فقط یک عنصر ( و نه بیشتر) از عناصر مجموعه B نظیر شود در این صورت تابعی از A در B داریم و به صورت زیر نشان می دهیم.

که y را تصویر x یا متغیر وابسته و x را متغیر مستقل می گوییم.
با توجه به تعریف، تابع f مجموعه ای از زوج های مرتب به صورت زیر است.

y=f(x) را معادله یا ضابطه ی تابع می گوییم.

مقدار تابع در یک نقطه
اگر (x,y) زوج مرتبی متعلق به تابع f باشد آن گاه مقدار f در نقطه ی x یعنی f(x) را تصویر x تحت تابع f می گوییم.
مثال(2):
معادله یک تابع به صورت است، مطلوب است محاسبه ی


تمرین(1):
معادله یک تابع به صورت است، مطلوب است محاسبه ی


برای بررسی تابع بودن طبق تعریف داریم.

تمرین(2):
کدام یک از روابط زیر تابع است.


بررسی تابع بودن از روی نمودار
از نظر نموداری رابطه ای تابع است که هر خط موازی محور y ها به صورت x=a نمودار آن را حداکثر در یک نقطه قطع کند.
مثال(3):
کدام یک از روابط زیر تابع است.

دامنه ی تعریف و حوزه ی مقادیر ( برد) تابع

اگر f تابعی از A در B باشد

مجموعه ی تمام مختصات اول زوج های را دامنه ی f می گوییم و با D_f و مجموعه ی تمام مختصات دوم را برد f می گوییم و با R_f نشان می دهیم.

اگر آن گاه است.

تابع پوشا: اگر R_f =B باشد تابع را پوشا می گوییم.

دامنه و برد برای رابطه نیز به همین شکل تعریف می شود
مثال(4):
رابطه ی f به صورت زیر مفروض است.

آیا f یک تابع است؟ دامنه و برد آن را تعیین کنید.

بنابراین f تابع نیست و یک رابطه است.
برای تعیین دامنه معادله را بر حسب y می نویسیم. و سپس بررسی می کنیم که x چه مقادیری می تواند اختیار کند.

می دانیم زیر رادیکال با فورجه زوج باید مثبت باشد یعنی

برای تعین برد معادله را بر حسب x می نویسیم و سپس بررسی می کنیم که y چه مقادیری می تواند اختیار کند.

تمرین(3):
کدام یک از روابط زیر تابع است. برد و دامنه ی آنها را مشخص کنید.


تابع یک به یک:اگر f تابعی از A در B باشد تابع f را یک به یک گوییم اگر

برای تعیین یک به یک بودن

مثال(5):
کدام یک از توابع زیر یک به یک است

بررسی یک به یک بودن از روی نمودار
تابع f یک به یک است هر گاه هر خط موازی محور x ها یعنی y=b نمودار آن را در صورت قطع کردن، فقط در یک نقطه قطع کند؛ در غیر این صورت یک به یک نیست.

بررسی چند نوع تابع

تابع همانی: y=x
تابع ثابت: y=a
تابع قدر مطلق:
تابع خطی: y=ax+b
تابع چند جمله ای:
تابع گویا: تابع f که به صورت خارج قسمت دو تابع چند جمله ای باشد، تابع کسری یا گویا می گوییم.

تابع پله ای یا جزء صحیح: و منظور آن مقدار صحیح x است( بزرگترین عدد صحیح کوچکتر یا مساوی x) یعنی به ازای هر داریم

مثال(6):


معکوس تابع f از رابطه ی

به دست می آید یعنی جای دو مختص را در تمامی عناصر f جابه جا می کنیم.
معکوس یک تابع لزوما تابع نیست.
مثال(7):
معکوس تابع را به دست آورید.

x را به y و y را به x تبدیل می کنیم و y را بر حسب x محاسبه می کنیم.

شکل دو تابع معکوس نسبت به نیمساز ربع اول متقارن است.
تابع معکوس:معکوس یک تابع زمانی که تابع اولیه یک به یک باشد خود یک تابع است.
تمرین(4):
معکوس توابع زیر را به دست آورید.

توابع زوج و فرد:
اگر در فرمول تابع x را به -x تبدیل کنیم و f(x) تغیر نکند تابع را زوج می گوییم.
تابع زوج نسبت به محور y ها قرینه است.

اگر در فرمول تابع x را به -x تبدیل کنیم و f(x) به -f(x) تبدیل شود تابع را فرد می گوییم.
تابع فرد نسبت به مبدا مختصات متقارن است.
مثال(8):
کدامیک از توابع زیر زوج و کدامیک فرد است.

دریافت فایل pdf