آموزش آمار آموزش ریاضی .
.
 

رابطه:

دو مجموعه ی A و B را در نظر می گیریم، هر زیر مجموعه از  آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه را یک رابطه از A در B می گوییم.
اگر  آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه در این صورت R یک رابطه از A در B است.
اگر  آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه آن گاه R را رابطه ای در A می نامیم.
اگر  آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه آن گاه x با y دارای رابطه ی R است و آن را با  آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه نشان می دهیم و اگر  آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه آن گاه x با y دارای رابطه ی R نیست و آن را با  آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطهنشان می دهیم.
مثال(1):
اگر دو مجموعه A و B به صورت زیر باشد
آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه

آن گاه R, F و G رابطه هایی از  آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه
آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه

و H رابطه ای از  آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه است.
آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه


باید توجه داشت که در خیلی از مواقع بدون اینکه نامی از رابطه برده شود آن را به کار می بریم مثلا برای تعین خط  آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه رابطه ای در فضای  آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه در نظر گرفته ایم.

رابطه معکوس

اگر R رابطه ای از A در B باشد، معکوس رابطه ی R که با  آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه نشان می دهیم، مجموعه ای است از تمامی جفت های مرتب R که در آن جای مختص اول و دوم عوض شده است.
آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه

از تعریف فوق داریم:
آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه

مثال(2):
آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه

R و  آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه در دستگاه مختصات نسبت به نیمساز ربع اول قرینه می باشند.
آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه

رابطه ی انعکاسی

اگر رابطه ی R در A تعریف شده باشد  آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه رابطه ی R را انعکاسی گوییم اگر  آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه نتیجه بگیریم که  آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه یا  آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه یعنی
آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه

به تعریف توجه کنید برای همه ی اعضای A باید این رابطه وجود داشته باشد.

مثال(3):
کدام یک از رابطه های زیر بر مجموعه ی A انعکاسی است.
آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه

آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه

R و F انعکاسی است ولی G انعکاسی نیست زیرا 4 آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه A ولی (4,4)  آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه G

تمرین:
آیا رابطه های زیر بر مجموعه اعداد حقیقی انعکاسی است.
آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه

رابطه ی متقارن

رابطه ی R را متقارن می گوییم اگر  آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه باشد آن گاه (b,a) نیز متعلق به R باشد.
آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه


مثال(4):
کدام یک از رابطه های زیر بر مجموعه A متقارن است.
آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه

R و F متقارن است ولی G متقارن نیست زیرا (1,3) متعلق به G هست ولی (3,1) متعلق به G نیست.
تمرین:
آیا رابطه های زیر بر مجموعه اعداد حقیقی متقارن است.
آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه

رابطه ی متعدی (تراگذاری)

رابطه ی R را بر مجموعه ی A متعدی می گوییم اگر (a,b) و (b,c) متعلق به R باشند آن گاه (a,c) نیز متعلق به R باشد یعنی
آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه


مثال(5):
کدام یک از رابطه های زیر بر مجموعه A متعدی است.
آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه

آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه

بنابراین رابطه ی R متعدی است.
آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه

بنابراین رابطه ی F متعدی نیست.
تمرین:
کدامیک از رابطه های زیر بر مجموعه اعداد حقیقی متعدی است.
آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه

رابطه ی هم ارزی

رابطه ی R را بر مجموعه ی A یک رابطه ی هم ارزی می گوییم اگر
1) انعکاسی
2) متقارن
3) متعدی
باشد.

مثال(6):
کدامیک از رابطه های زیر بر مجموعه A یک رابطه هم ارزی است.
آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه

(1) با توجه به اینکه  آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه بنابراین این رابطه انعکاسی نیست.
(2) رابطه F انعکاسی است
آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه

بنابراین رابطه F متقارن نیست.
(3) رابطه G انعکاسی است
رابطه G متقارن است
رابطه G متعدی است
بنابراین رابطه G یک رابطه هم ارزی است.

رابطه ی هم ارزی و افراز

اگر R یک رابه ی هم ارزی در A باشد . برای هر عنصر a از A، عبارت  آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه را کلاس هم ارزی از A می گوییم و به صورت زیر تعریف می شود.
آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه

با توجه به تعریف، [a] مجموعه ای از عناصر A است به طوری که با عنصر a رابطه ی R داشته باشد.

مثال(7):
اگر  آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه باشد و
آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه

یک رابطه هم ارزی است کلاس هم ارزی [1] را بنویسید.
آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه

مجموعه تمام کلاس های هم ارزی A را تحت رابطه ی F با  آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه نشان می دهیم و آن را تقسیم A به وسیله F می گوییم.
آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه


مثال(8):
برای مثال 7 مجموعه همه کلاس های هم ارزی A تحت رابطه R را بنویسید.
آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه

اگر F رابطه ای هم ارزی در A باشد، در این صورت  آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه افرازی در A است.

مثال(9):
در مثال فوق
آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه

یک افراز از مجموعه ی A است.

رابطه ی ضد متقارن

رابطه ی R بر مجموعه ی A یک رابطه ضد متقارن است اگر داشته باشیم.
آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه

به عبارت دیگر اگر  آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه باشد، در رابطه ضد متقارن ممکن است  آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه ولی هر دو با هم برقرار نیست.

مثال(10):
اگر  آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه باشد و  آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه
R یک رابطه ضد متقارن نیست زیرا
آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه

R یک رابطه متقارن نیست زیرا
آموزش ریاضی : رابطه چیست؟ انواع رابطه

دریافت فایل pdf
مجله اینترنتی آموزش آمار و احتمال
http://amar.ibep.ir