آموزش آمار آموزش تجزیه و تحلیل آماری مقدمه ای بر آمار آزمون فرض های آماری .
.
 
در این قسمت قصد داریم روش ساختن آزمون فرض برای میانگین جامعه (آزمون فرض های آماری آزمون فرضیه یک میانگین ) را بررسی کنیم. همان گونه که از قبل می دانیم برای ساختن یک آزمون فرض نیاز به تعین آماره آزمون و توزیع نمونه گیری آن داریم.
یادآوری:
هر متغیر تصادفی دارای یک توزیع احتمال است. توزیع احتمال یک آماره را اصطلاحا توزیع نمونه گیری آماره می گوییم.

بهترین اماره ای که برای میانگین جامعه آزمون فرض های آماری آزمون فرضیه یک میانگین می توان در نظر گرفت میانگین نمونه آزمون فرض های آماری آزمون فرضیه یک میانگین است.
توزیع نمونه گیری میانگین، توزیع احتمال میانگین های همه نمونه های تصادفی با حجم مشخصی (n) است که می توان از جامعه انتخاب کرد.
توزیع نمونه گیری میانگین را توزیع آزمون فرض های آماری آزمون فرضیه یک میانگین نیز می نامند.
توزیع آزمون فرض های آماری آزمون فرضیه یک میانگین در حد قابل ملاحظه ای بستگی به نوع توزیع جامعه دارد. بنابراین نمی توان انتظار داشت که روش استنباطی واحدی برای همه انواع توزیع های جامعه به کار رود.
بنابراین برای ساختن یک آزمون فرض درباره میانگین، حالت های زیر می تواند اتفاق بیفتد.
  • جامعه نرمال و انحراف معیار جامعه مشخص
  • جامعه نرمال و انحراف معیار جامعه نامشخص
  • جامعه غیر نرمال و حجم نمونه بزرگ (آزمون فرض های آماری آزمون فرضیه یک میانگین )
  • جامعه غیر نرمال و حجم نمونه کوچک (n<30)
* اگر جامعه نرمال باشد(بدون توجه به حجم نمونه) توزیع آزمون فرض های آماری آزمون فرضیه یک میانگین نرمال است.
  • اگر انحراف معیار جامعه نامشخص باشد که معمولا چنین است باید به برآورد انحراف معیار جامعه بپردازیم و در این حالت توزیع آزمون فرض های آماری آزمون فرضیه یک میانگین دیگر نرمال نیست و دارای یک توزیع نزدیک به نرمال به نام توزیع t یا t- استودنت است.
* اگر جامعه نرمال نباشد با توجه به قضیه حد مرکزی برای آزمون فرض های آماری آزمون فرضیه یک میانگین توزیع آزمون فرض های آماری آزمون فرضیه یک میانگین نرمال است.
در این قسمت برای حالت های مختلف آماره آزمون را مشخص می کنیم
  • جامعه نرمال و انحراف معیار جامعه مشخص
    در این حالت آزمون فرض های آماری آزمون فرضیه یک میانگین دارای توزیع نرمال است بنابراین آماره ی آزمون
    آزمون فرض های آماری آزمون فرضیه یک میانگین
    که در آن آزمون فرض های آماری آزمون فرضیه یک میانگین  و آزمون فرض های آماری آزمون فرضیه یک میانگین انحراف معیار جامعه، دارای توزیع نرمال استاندارد است.
  • جامعه نرمال و انحراف معیار جامعه نامشخص
    در این حالت
    آزمون فرض های آماری آزمون فرضیه یک میانگین
    که در آن آزمون فرض های آماری آزمون فرضیه یک میانگین  و آزمون فرض های آماری آزمون فرضیه یک میانگین  است دارای توزیع t با n-1 درجه آزادی است.
  • جامعه غیر نرمال و حجم نمونه بزرگ (آزمون فرض های آماری آزمون فرضیه یک میانگین )
    در این حالت
    آزمون فرض های آماری آزمون فرضیه یک میانگین
    دارای توزیع نرمال استاندارد است.
  • جامعه غیر نرمال و حجم نمونه کوچک (n<30)
    در این حالت باید از روشهای ناپارامتری اسثفاده کنیم.
در زیر با چند مثال حالت های مختلف را توضیح می دهیم.
مثال 1:
اگر سن دانشجویان دانشگاه دارای توزیع نرمال با واریانس 4 باشد و نمونه ای تصادفی به حجم 20 از میان آنها انتخاب و میانگین و انحراف معیار ان به ترتیب برابر 24 و 3 شود آزمون زیر را در سطح آزمون فرض های آماری آزمون فرضیه یک میانگین = 0.05 انجام دهید.
آزمون فرض های آماری آزمون فرضیه یک میانگین
با توجه به اینکه جامعه نرمال و انحراف معیار آن مشخص است (حالت اول) بنابراین آزمون فرض های آماری آزمون فرضیه یک میانگین  دارای توزیع نرمال استاندارد است.
آزمون دو طرفه است بنابراین آزمون فرض های آماری آزمون فرضیه یک میانگین را به دو قسمت مساوی تقسیم می کنیم و مقدار بحرانی را از جدول توزیع نرمال به دست می آوریم. Z0.025=1.96
با توجه به آنچه در قسمت آزمون فرض ها بیان شد می دانیم
آزمون فرض های آماری آزمون فرضیه یک میانگین
اگر آماره آزمون (آزمون فرض های آماری آزمون فرضیه یک میانگین  ) از 1.96 بزرگتر یا از -1.96 کوچکتر باشد فرض صفر را رد می کنیم و گرنه فرض صفر را نمی توان رد کرد.
آزمون فرض های آماری آزمون فرضیه یک میانگین
با توجه به اینکه 2.24 در ناحیه رد قرار گرفته است بنابراین فرض صفر رد می شود.
مثال 2:
مثال 1 را برای آزمون زیر در سطح آزمون فرض های آماری آزمون فرضیه یک میانگین = 0.05 انجام دهید.
آزمون فرض های آماری آزمون فرضیه یک میانگین
آزمون یک طرفه است بنابراین Z0.05=1.64
با توجه به آنچه در قسمت آزمون فرض ها بیان شد می دانیم
آزمون فرض های آماری آزمون فرضیه یک میانگین
بنابراین اگر آماره آزمون (آزمون فرض های آماری آزمون فرضیه یک میانگین  ) از -1.64 کوچکتر باشد فرض صفر را رد می کنیم و گرنه فرض صفر را نمی توان رد کرد.
آزمون فرض های آماری آزمون فرضیه یک میانگین
با توجه به اینکه -2.24 در ناحیه رد قرار گرفته است بنابراین فرض صفر رد می شود.
مثال 3:
اگر سن دانشجویان دانشگاه دارای توزیع نرمال باشد و نمونه ای تصادفی به حجم 20 از میان آنها انتخاب و میانگین و انحراف معیار ان به ترتیب برابر 24 و 3 شود آزمون زیر را در سطح آزمون فرض های آماری آزمون فرضیه یک میانگین = 0.05 انجام دهید.
آزمون فرض های آماری آزمون فرضیه یک میانگین
با توجه به اینکه جامعه نرمال و انحراف معیار آن معلوم نیست ( حالت دوم) بنابراین آماره آزمون آزمون فرض های آماری آزمون فرضیه یک میانگین  دارای توزیع t با r=n-1=19 درجه آزادی است.
آزمون یک طرفه است بنابراین t0.05,19=1.729
با توجه به آنچه در قسمت آزمون فرض ها بیان شد می دانیم
آزمون فرض های آماری آزمون فرضیه یک میانگین
بنابراین اگر آماره آزمون از 1.729 بزرگتر باشد فرض صفر رد می شود و گرنه فرض صفر را نمی توان رد کرد.
آزمون فرض های آماری آزمون فرضیه یک میانگین
بنابراین فرض صفر رد می شود.
به طور خلاصه در انجام آزمون فرضیه یک میانگین باید به موارد زیر توجه نمود
1- حجم نمونه ( اگر حجم نمونه بزرگ باشد آماره آزمون دارای توزیع نرمال است و دیگر توزیع جامعه مهم نیست.)
2- سطح معنی داری آزمون آزمون فرض های آماری آزمون فرضیه یک میانگین
3- نوع آزمون (یک طرفه یا دو طرفه بودن آزمون)
نکته:
اگر حجم نمونه کوچک باشد باید به توزیع جامعه و انحراف معیار ان توجه نمود.

بازگشت به صفحه آزمون فرض های آماری
مجله اینترنتی آموزش آمار و احتمال
http://amar.ibep.ir