آموزش آمار آموزش تجزیه و تحلیل آماری مقدمه ای بر آمار فاصله اطمینان .
.
 
ساختن فاصله اطمینان میانگین جامعه برآورد فاصله اطمینان میانگین جامعه بستگی به
1- میانگین نمونه تصادفی منتخب از جامعه برآورد فاصله اطمینان میانگین جامعه
2- توزیع نمونه گیری برآورد فاصله اطمینان میانگین جامعه
دارد.
توزیع برآورد فاصله اطمینان میانگین جامعه در حد قابل ملاحظه ای بستگی به نوع توزیع جامعه دارد. برای تعین توزیع نمونه گیری برآورد فاصله اطمینان میانگین جامعه چهار حالت زیر می تواند اتفاق بیفتد.
  • جامعه نرمال و انحراف معیار جامعه مشخص
  • جامعه نرمال و انحراف معیار جامعه نامشخص
  • جامعه غیر نرمال و حجم نمونه بزرگ (آزمون فرض های آماری آزمون فرضیه یک میانگین )
  • جامعه غیر نرمال و حجم نمونه کوچک (n<30)
به ترتیب حالت های فوق را بررسی می کنیم.

جامعه نرمال و انحراف معیار جامعه مشخص


اگر جامعه نرمال و انحراف معیار جامعه برآورد فاصله اطمینان میانگین جامعه مشخص باشد آن گاه برآورد فاصله اطمینان میانگین جامعه دارای توزیع نمونه گیری نرمال است بنابراین
برآورد فاصله اطمینان میانگین جامعه
که در آن برآورد فاصله اطمینان میانگین جامعه  و برآورد فاصله اطمینان میانگین جامعه انحراف معیار جامعه، دارای توزیع نرمال استاندارد است.
هدف ما ساختن فاصله ای به صورت برآورد فاصله اطمینان میانگین جامعه  است که احتمال آن برابر با (1- برآورد فاصله اطمینان میانگین جامعه ) باشد.
برآورد فاصله اطمینان میانگین جامعه
با توجه به اینکه توزیع نرمال قرینه است بنابراین بهترین حالت انتخاب فاصله به صورت
برآورد فاصله اطمینان میانگین جامعه
است
بنابراین زمانی که جامعه نرمال و انحراف معیار جامعه برآورد فاصله اطمینان میانگین جامعه مشخص است فاصله اطمینان با سطح اطمینان (1- برآورد فاصله اطمینان میانگین جامعه ) درصد از رابطه زیر به دست می آید.
برآورد فاصله اطمینان میانگین جامعه

چگونگی به دست آوردن فرمول فاصله اطمینان برای میانگین جامعه زمانی که جامعه نرمال و انحراف معیار جامعه مشخص است.


می دانیم
برآورد فاصله اطمینان میانگین جامعه
دارای توزیع نرمال استاندارد است بنابراین
برآورد فاصله اطمینان میانگین جامعه
برآورد فاصله اطمینان میانگین جامعه
بنابراین اگر جامعه نرمال و انحراف معیار جامعه مشخص باشد برای ساختن فاصله اطمینان (1- برآورد فاصله اطمینان میانگین جامعه ) درصد مراحل زیر را طی می کنیم.
1- مقدار برآورد فاصله اطمینان میانگین جامعه  را به دست می آوریم.
2- مقدار Zبرآورد فاصله اطمینان میانگین جامعه  را از جدول به دست می آوریم.
3- فاصله اطمینان مورد نظر را به صورت
برآورد فاصله اطمینان میانگین جامعه
بیان می کنیم.
مثال:
جامعه نرمالی دارای انحراف معیار 8 است. یک نمونه تصادفی ساده به حجم 16 انتخاب و میانگین ان برابر 43 به دست می آید. فاصله اطمینان 95 درصد را برای میانگین جامعه به دست آورید.
برآورد فاصله اطمینان میانگین جامعه
با استفاده از جدول Z0.025=1.96 و
برآورد فاصله اطمینان میانگین جامعه
بنابراین فاصله اطمینان 95 درصد برای میانگین جامعه برابر (39.08,46.92) است.

جامعه نرمال و انحراف معیار جامعه نامشخص


زمانی که برآورد فاصله اطمینان میانگین جامعه مشخص نیست باید از نمونه برآورد شود و برای این کار از فرمول
برآورد فاصله اطمینان میانگین جامعه
استفاده می کنیم و در نتیجه خطای معیار میانگین به صورت
برآورد فاصله اطمینان میانگین جامعه
محاسبه می شود.
همان گونه که در قسمت توزیع t دیدیم
برآورد فاصله اطمینان میانگین جامعه
دیگر دارای توزیع نرمال نیست و دارای توزیع t است.
با توجه به اینکه توزیع t قرینه است بنابراین بهترین حالت انتخاب فاصله به صورت
برآورد فاصله اطمینان میانگین جامعه
(r = n-1) است.
بنابراین زمانی که جامعه نرمال و انحراف معیار آن مشخص نیست فاصله اطمینان (1- برآورد فاصله اطمینان میانگین جامعه ) درصد از رابطه زیر به دست می آید.
برآورد فاصله اطمینان میانگین جامعه
مثال:
در آزمایشی اعداد 8, 7, 10, 15, 11, 6, 8, 5, 13, 12 به دست آمده است. با فرض نرمال بودن جامعه فاصله اطمینان با سطح اطمینان 0.95 به دست اورید.
برآورد فاصله اطمینان میانگین جامعه
برآورد فاصله اطمینان میانگین جامعه
بنابراین فاصله اطمینان 95 درصد برای میانگین جامعه برابر (7.2,11.8) است.

جامعه غیر نرمال و انحراف معیار جامعه نامشخص


در اکثر مواردی که در عمل با آن مواجه هستیم نه مقدار برآورد فاصله اطمینان میانگین جامعه را می دانیم و نه مطمئن هستیم که جامعه دارای توزیع نرمال است. ولی با توجه به قضیه حد مرکزی می دانیم که برای نمونه هایی با حجم بزرگتر از 30، توزیع برآورد فاصله اطمینان میانگین جامعه تقریبا نرمال است و همچنین توزیع t برای n بزرگتر از 30 تقریبا بر توزیع نرمال منطبق است.
بنابراین زمانی که جامعه غیر نرمال و n بزرگتر از 30 است فاصله اطمینان از رابطه ی زیر به دست می آید.
برآورد فاصله اطمینان میانگین جامعه

جامعه غیر نرمال و حجم نمونه کوچک (n<30)


در این حالت به صورت تقریبی از رابطه زیر استفاده می کنیم.
برآورد فاصله اطمینان میانگین جامعه
[این مورد از اطمینان و اعتبار لازم برخوردار نیست]

بازگشت به صفحه فاصله اطمینان
مجله اینترنتی آموزش آمار و احتمال
http://amar.ibep.ir