آموزش آمار آموزش تجزیه و تحلیل آماری مقدمه ای بر آمار .
.
 
پیش از معرفی ضریب همبستگی کندال لازم است مفهوم میزان هماهنگی و ناهماهنگی دو متغیر تصادفی را بررسی کنیم.

میزان هماهنگی دو متغیر X و Y


احتمال تغیر هم جهت و هماهنگ دو متغیر تصادفی را میزان هماهنگی آنها می نامیم یعنی احتمال اینکه اگر X زیاد شود Y هم زیاد شود و اگر X کم شود Y هم کم شود را میزان هماهنگی X و Y می نامیم و آن را با  مقدمه ای بر آمار : اندازه گیری رابطه: ضریب همبستگی کندال kendal    نشان می دهیم.
بیان آماری:
فرض کنید (X,Y) دارای توزیع دو بعدی پیوسته است. یک نمونه تصادفی   مقدمه ای بر آمار : اندازه گیری رابطه: ضریب همبستگی کندال kendal   از این توزیع انتخاب می کنیم میزان هماهنگی دو متغیر X و Y را با  مقدمه ای بر آمار : اندازه گیری رابطه: ضریب همبستگی کندال kendal    نشان می دهیم و آنرا به صورت زیر تعریف می کنیم:
  مقدمه ای بر آمار : اندازه گیری رابطه: ضریب همبستگی کندال kendal
در حقیقت  مقدمه ای بر آمار : اندازه گیری رابطه: ضریب همبستگی کندال kendal    میزان تغیرات X و Y را در یک جهت بیان می کند.
هر گاه  مقدمه ای بر آمار : اندازه گیری رابطه: ضریب همبستگی کندال kendal    =1 می گوییم X و Y هماهنگی کامل دارند، یعنی حتمی است که اگر X زیاد شود Y هم زیاد شود و بر عکس.

میزان ناهماهنگی دو متغیر X و Y


احتمال تغیر غیر هم جهت و ناهماهنگ دو متغیر تصادفی را میزان ناهماهنگی آن ها می نامیم. یعنی احتمال اینکه اگر X زیاد شود Y کم شود و اگر X کم شود Y زیاد شود را میزان ناهماهنگی X و Y می نامیم و انرا با  مقدمه ای بر آمار : اندازه گیری رابطه: ضریب همبستگی کندال kendal    نشان می دهیم.
بیان آماری:
میزان ناهماهنگی دو متغیر X و Y را با  مقدمه ای بر آمار : اندازه گیری رابطه: ضریب همبستگی کندال kendal    نشان می دهیم و ان را به صورت زیر تعریف می کنیم:
  مقدمه ای بر آمار : اندازه گیری رابطه: ضریب همبستگی کندال kendal
در حقیقت   مقدمه ای بر آمار : اندازه گیری رابطه: ضریب همبستگی کندال kendal   میزان تغیرات X و Y را در جهت های مختلف بیان می کند.
هر گاه  مقدمه ای بر آمار : اندازه گیری رابطه: ضریب همبستگی کندال kendal    =-1 می گوییم X و Y ناهماهنگی کامل دارند، یعنی حتمی است که اگر X زیاد شود Y کم می شود و بر عکس.
واضح است که میان   مقدمه ای بر آمار : اندازه گیری رابطه: ضریب همبستگی کندال kendal   و   مقدمه ای بر آمار : اندازه گیری رابطه: ضریب همبستگی کندال kendal   رابطه ی زیر برقرار است.
  مقدمه ای بر آمار : اندازه گیری رابطه: ضریب همبستگی کندال kendal

ضریب همبستگی کندال


ضریب همبستگی کندال که ان را با حرف یونانی   مقدمه ای بر آمار : اندازه گیری رابطه: ضریب همبستگی کندال kendal   نشان می دهیم عبارت است از
  مقدمه ای بر آمار : اندازه گیری رابطه: ضریب همبستگی کندال kendal
ضریب همبستگی کندال که یک پارامتر است دارای خواصی نظیر ضریب همبستگی ساده (پیرسون) می باشد یعنی:
الف)   مقدمه ای بر آمار : اندازه گیری رابطه: ضریب همبستگی کندال kendal
اگر  مقدمه ای بر آمار : اندازه گیری رابطه: ضریب همبستگی کندال kendal    =1 متغیر ها در یک جهت تغیر می کنند و اگر  مقدمه ای بر آمار : اندازه گیری رابطه: ضریب همبستگی کندال kendal    =-1 در دو جهت مخالف تغییر می کنند.
ب) اگر X و Y مستقل باشند داریم  مقدمه ای بر آمار : اندازه گیری رابطه: ضریب همبستگی کندال kendal    =0
البته عکس این موضوع در حالت کلی درست نیست یعنی  مقدمه ای بر آمار : اندازه گیری رابطه: ضریب همبستگی کندال kendal    =0 مستلزم مستقل بودن X و Y نیست

برآورد  مقدمه ای بر آمار : اندازه گیری رابطه: ضریب همبستگی کندال kendal    ضریب همبستگی کندال


برای برآورد  مقدمه ای بر آمار : اندازه گیری رابطه: ضریب همبستگی کندال kendal    نیاز است تابع علامت (نشانه) را تعریف کنیم.
  مقدمه ای بر آمار : اندازه گیری رابطه: ضریب همبستگی کندال kendal
و برای هر دوتایی   مقدمه ای بر آمار : اندازه گیری رابطه: ضریب همبستگی کندال kendal   متغیر تصادفی
  مقدمه ای بر آمار : اندازه گیری رابطه: ضریب همبستگی کندال kendal
را در نظر می گیریم. واضح است که این متغیر تصادفی دارای جدول تابع احتمال زیر است:
  مقدمه ای بر آمار : اندازه گیری رابطه: ضریب همبستگی کندال kendal
میانگین Aij به صورت زیر است.
  مقدمه ای بر آمار : اندازه گیری رابطه: ضریب همبستگی کندال kendal
چون میانگین Aij برابر   مقدمه ای بر آمار : اندازه گیری رابطه: ضریب همبستگی کندال kendal   است بنابراین معدل Aij ها برآوردیاب   مقدمه ای بر آمار : اندازه گیری رابطه: ضریب همبستگی کندال kendal   (ضریب همبستگی کندال) می شود.

روش محاسبه برآورد ضریب همبستگی کندال


اگر در داده ها گره نباشد و شماره Aij های مثبت را با P و شماره ی Aij های منفی را با N نشان دهیم برآورد   مقدمه ای بر آمار : اندازه گیری رابطه: ضریب همبستگی کندال kendal   می شود.
  مقدمه ای بر آمار : اندازه گیری رابطه: ضریب همبستگی کندال kendal
برای محاسبه T به صورت زیر عمل می کنیم.
یافته ها (مشاهدات) را به نحوی مرتب می کنیم تا xi ها به ترتیب صعودی قرار گیرند. پس برای هر j>i داریم
  مقدمه ای بر آمار : اندازه گیری رابطه: ضریب همبستگی کندال kendal
Aij=1 اگر و تنها اگر   مقدمه ای بر آمار : اندازه گیری رابطه: ضریب همبستگی کندال kendal
بنابراین شماره Aijهای مثبت برابر است با شماره   مقدمه ای بر آمار : اندازه گیری رابطه: ضریب همبستگی کندال kendal   های مثبت.

مثال: برای داده های زیر ضریب همبستگی کندال را به دست آورید.
  مقدمه ای بر آمار : اندازه گیری رابطه: ضریب همبستگی کندال kendal
داده ها را بر اساس رتبه های نمره های زبان مرتب می کنیم تا جدول زیر به دست آید.
  مقدمه ای بر آمار : اندازه گیری رابطه: ضریب همبستگی کندال kendal
و از جدول بالا مقدار T به دست می آید.
  مقدمه ای بر آمار : اندازه گیری رابطه: ضریب همبستگی کندال kendal

نکته: ضریب همبستگی کندال برای داده های رتبه ای قابل محاسبه است و برای داده های اسمی نمی توان انرا محاسبه کرد.
مجله اینترنتی آموزش آمار و احتمال
http://amar.ibep.ir