آموزش آمار آموزش تجزیه و تحلیل آماری مقدمه ای بر آمار .
.
 
قبل از مطالعه این بخش مطالعه مقاله زیر پیشنهاد می شود:
  • کاربرد آزمون نیکویی برازش چیست؟

  • در مطالعه توزیع های احتمال دیدیم که می توان دو نوع توزیع فراوانی ( احتمال) داشت یکی فراوانی هایی که بر اساس تجربه یا مشاهده به دست می آید که آنرا با f نمایش می دهیم و دیگری فراوانی های نظری است که بر اساس شواهد و فرض هایی که درباره ی آن توزیع می شود به دست می آید.
    اگر فرض و ادعایی که درباره ی جامعه شده است درست باشد، باید فراوانی های نظری که با استفاده از آن فرض یا ادعا به دست می آید، با فراوانی های تجربی که قبلا به دست آمده برابر و یا اختلاف آنها بسیار ناچیز باشد، بطوریکه بتوان از اختلاف مورد بحث چشم پوشید و آنرا ناشی از تصادف دانست.
    ولی در برخی از موارد اختلاف بین فراوانیهای نظری و تجربی به قدری زیاد است که چشم پوشی از آن صحیح نیست، اما تا چه اندازه می توان از اختلاف بین فراوانیهای تجربی و نظری صرفنظر کرد و آنرا ناشی از تصادف دانست، مسئله ای است که باید مورد آزمون قرار گیرد.

    روش انجام آزمون نیکویی برازش


    - ابتدا داده های نمونه را در k رده، رده بندی می کنیم.
    - تعداد مشاهده شده یا فراوانی مقادیر نمونه ای واقع شده در رده ی i ام را با fi نشان می دهیم. مجموع fi ها باید برابر n، حجم نمونه باشد.
      مقدمه ای بر آمار : بررسی توزیع ها نحوه ی کار آزمون نیکویی برازش
    - اکنون با داشتن توزیعی که با H0 مشخص شده است، می توانیم فراوانی های مورد انتظار را برای هر رده، وقتی H0 صحیح است تعیین کنیم. فراوانی مورد انتظار رده ی i ام را وقتی H0 برقرار است با Fi نشان می دهیم. مانند فراوانیهای مشاهده شده، مجموع Fi ها، یعنی مجموع فراوانی های مورد انتظار نیز باید برابر با n، حجم نمونه باشد.
      مقدمه ای بر آمار : بررسی توزیع ها نحوه ی کار آزمون نیکویی برازش

    آماره ی آزمون


    آماره ی آزمون، بر اساس مقایسه ی فراوانیهای مشاهده شده ی fi با فراوانیهای مورد انتظار Fi تحت H0 است.
    هر چه فراوانیهای مشاهده شده به فراوانیهای مورد انتظار نزدیکتر باشند قوت دلیل به نفع H0 بیشتر است.
    هر چه فراوانیهای مشاهده شده و مورد انتظار از هم دورتر باشند قوت دلیل به نفع H1 بیشتر است.
    آماره ی آزمون به صورت زیر است.
      مقدمه ای بر آمار : بررسی توزیع ها نحوه ی کار آزمون نیکویی برازش
    توجه: هر چه فراوانی مشاهده ی fi، در هر یک از دو جهت از فراوانی مورد انتظار Fi دورتر باشد   مقدمه ای بر آمار : بررسی توزیع ها نحوه ی کار آزمون نیکویی برازش  بزرگتر و در نتیجه X2 بزرگتر است. از سوی دیگر، اگر برای تمام رده ها؛ fi و Fi برابر باشند X2 = 0 زیرا برای هر   مقدمه ای بر آمار : بررسی توزیع ها نحوه ی کار آزمون نیکویی برازش  برابر صفر است.
    بنابراین مقادیر بزرگ X2 دلالت بر صحیح بودن H1 دارند، در حالی که مقادیر کوچک X2 دلالت بر صحیح بودن H0 دارند. بنابراین ناحیه بحرانی را به صورت شکل زیر می توان نشان داد.
      مقدمه ای بر آمار : بررسی توزیع ها نحوه ی کار آزمون نیکویی برازش

    توزیع نمونه گیری X2 وقتی H0 صحیح است


    قضیه: وقتی جامعه ی مورد نمونه گیری دارای توزیع احتمالی باشد که در H0 مشخص شده است و حجم نمونه، n به گونه ای معقول بزرگ باشد
      مقدمه ای بر آمار : بررسی توزیع ها نحوه ی کار آزمون نیکویی برازش
    X2 دارای توزیع خی دو ( کای اسکور) است که در ان
    k: تعداد رده هاست
    m: تعداد پارامترهایی است که از داده های نمونه برآورد کرده ایم.
    به عنوان یک قاعده، وقتی n به قدر کافی بزرگ است که تمام فراوانی های مورد انتظار Fi برابر 2 یا بزرگتر و حداقل 50 درصد آنها برابر 5 یا بزرگتر باشند.

    تصمیم گیری در مورد فرض H0(قاعده تصمیم):


    وقتی گزینه ها عبارتند از:

    H0: جامعه شکل مشخص شده را دارد.
    H1: جامعه شکل مشخص شده را ندارد.
    و حجم نمونه برای به کار بردن توزیع نمونه گیری X2 به اندازه کافی بزرگ است، قاعده تصمیم برای کنترل مخاطره  مقدمه ای بر آمار : بررسی توزیع ها نحوه ی کار آزمون نیکویی برازش به صورت زیر است.
    اگر   مقدمه ای بر آمار : بررسی توزیع ها نحوه ی کار آزمون نیکویی برازش  ، گزینه H0 را نتیجه می گیریم.
    اگر   مقدمه ای بر آمار : بررسی توزیع ها نحوه ی کار آزمون نیکویی برازش  ، گزینه H1 را نتیجه می گیریم.
    نکته:
    وقتی آزمون نیکویی برازش توان دوم خی برای یک توزیع احتمال گسسته به کار می رود، توجه عمده به این است که آیا فراوانیهای مورد انتظار Fi آن قدر بزرگ است که شرایط بیان شده در قضیه فوق را تامین کنند. اگر این فراوانیها به اندازه کافی بزرگ نباشند، بر حسب قرارداد ، رده های مجاور را ادغام می کنیم تا شرایط مطلوب به دست آید.
    نکته:
    وقتی توزیع احتمالی که در H0 مشخص شده است پیوسته (مثلا نرمال) باشد، فاصله های رده های را که برای رده بندی داده های نمونه ای به کار می روند می توان به روش های مختلف انتخاب کرد. برای تقویت قدرت تمیز آزمون، شیوه زیر را به کار می بریم.
    رده های توزیع احتمال پیوسته ای را که در H0 مشخص شده است باید طوری انتخاب کنیم که احتمال های مساوی داشته باشند؛ یعنی باید فراوانی های مورد انتظار برای تمام رده ها یکی باشند.
    نکته:
    وقتی داده های نمونه ای از توزیع احتمال پیوسته قبلا به صورت توزیع فراوانی رده بندی شده باشند ( مثلا در داده های انتشار یافته) ممکن است برای انجام آزمون نیکویی برازش، قادر به تشکیل رده های متساوی الاحتمال نباشیم. در این صورت، با رده های فراوانی که قبلا تهیه شده اند و با ادغام آنها اگر برای رسیدن به Fi ها به حجم کافی ضرورت داشته باشد، هنوز هم می توان شیوه ی توان دوم خی را به کار برد.
    نکته:
    تعداد رده ها در آزمون نیکویی برازش مهم است زیرا اگر تعداد رده ها را زیاد بگیریم فراوانی بعضی از رده ها ممکن است کم شود و اگر این تعداد را کم بگیریم دقت آزمون پایین می آید. تعداد رده ها معمولا باید بین پنج تا بیست باشد و آنرا می توان با یک حساب سر انگشتی با توجه به داده ها تعیین کرد.
  • محاسبه آزمون نیکویی برازش خی دو


  • مطالب مرتبط:
  • کاربرد آزمون نیکویی برازش چیست؟
  • آزمون نیکویی برازش کولموگروف اسمیرنوف
  • فاصله اطمینان ( نوار اطمینان) برای تابع توزیع تجمعی
  • مجله اینترنتی آموزش آمار و احتمال
    http://amar.ibep.ir